Фамилия Бермешев — редкий пример, где тюркское прозвище встретилось с русским суффиксом принадлежности. Разбираем её по частям.

Основа фамилии — личное имя или прозвище Бермеш. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) слово «бермеш» означает «не дающий», «отказывающий». Вряд ли это было имя в прямом смысле: скорее, так могли прозвать скупого, несговорчивого человека или, наоборот, того, кто умел отказывать твёрдо и не поддавался на уговоры. В кочевой среде, где щедрость была важной добродетелью, такое прозвище звучало как характеристика. Есть и другая версия: Бермеш — это диалектная форма имени Бердиш (от тюркского «берди» — «дал»). Тогда значение меняется на противоположное: «дарованный», «тот, кого дали» (Богом, судьбой). В пользу второй версии говорит то, что имена-пожелания с корнем «бер-» (давать) широко распространены у тюркских народов. Какая из них верна для конкретного рода — без ранних письменных источников не установить, но обе рабочие.

Суффикс -ев указывает на типичную русскую модель образования фамилий от иноязычных основ: Бермеш + ев = «сын Бермеша» или «принадлежащий Бермешу». Такие фамилии получали крещёные татары, башкиры и другие народы Поволжья и Приуралья, переходя в русское сословие или просто попадая в русскую документацию. Форма «Бермешев» (а не «Бермешов») подсказывает, что финаль исходного слова была мягкой — «Бермеш», а не «Бермеш».

Географически фамилия тяготеет к регионам с компактным проживанием татар и башкир — Оренбургская, Челябинская области, Башкортостан, Татарстан. Встречается и в Казахстане, что неудивительно для общей тюркской основы. В дореволюционных метрических книгах Бермешевы фигурируют как государственные крестьяне и мещане, то есть не были ни знатным родом, ни крепостными. Ремесленная или земледельческая среда, без связи с дворянством.

Интересная деталь: фамилия Бермешев — одна из тех, что сохранила архаичную форму прозвища без тюркского притяжательного аффикса. Если бы она оформлялась по-татарски, звучала бы как Бермешев (с русским суффиксом) или Бермешов (с другим окончанием). А если бы прозвище дали в русской среде сразу, появился бы вариант Бермешов. Разница в одной букве, но она указывает на путь адаптации: тюркское имя сначала записали как есть, а потом добавили русское «-ев».