Фамилия Бершакова — один из тех случаев, когда за привычным русским окончанием кроется нерусская основа. Если коротко: ваш предок мог быть либо рыбаком с Волги, либо выходцем с украинских или белорусских земель, где и сложилась первоначальная форма фамилии — Бершак.

Разбираем по порядку. В основе лежит слово «берш». Так в Поволжье называют один из видов судака — рыбу семейства окуневых. Мирское имя Берш давали ребенку по древней славянской традиции: считалось, что, назвав сына в честь рыбы, родители «вводят» его в мир природы, и к нему переходят качества этого существа — ловкость, цепкость, умение уходить от опасности. То же слово могло стать и прозвищем взрослого человека — либо за сходство с рыбой (скажем, за крупные глаза или узкое тело), либо по роду занятий. Вполне вероятно, что первый Берш в роду был рыбаком, и прозвище закрепилось за ним как профессиональное.

Ключевая деталь, которая выдает путь фамилии, — суффикс -ак. В русском языке такая модель образования фамилий редка, а вот для украинской и белорусской ономастики она типична. Сравните: Гончар — Гончарук, Коваль — Ковальчук. Бершак — это человек, имеющий отношение к бершу: либо сын Берша, либо сам носитель прозвища. Когда носитель фамилии Бершак оказался на территории России, фамилию русифицировали по стандартной модели — добавили суффикс принадлежности -ов. Так Бершак стал Бершаковым, а женщина из этого рода — Бершаковой.

Таким образом, фамилия прошла два этапа: сначала прозвище или имя Берш превратилось в фамилию Бершак (на западнорусских землях, вероятно, в XV–XVI веках), а затем, после переселения рода в великорусские области, к ней приросло окончание -ов. Вариантов значения два, и оба правдоподобны: либо предок носил «рыбное» имя, либо промышлял ловлей берша на Волге или Днепре.