Фамилия Бесолов — один из тех случаев, где корень слова напрямую указывает на характер или внешность предка. Основа здесь — прилагательное «бес(с)олый», которое в южнорусских и украинских говорах означало «невесёлый», «угрюмый», «скучный». Сравните с диалектным глаголом «бесолеть» — становиться скучным, мрачным. Таким образом, Бесолов — это потомок человека, которого прозвали Бесолым за его суровый или нелюдимый нрав.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: «чей сын?» — Бесолов, то есть сын Бесола. Важно не путать эту фамилию с созвучными, образованными от слова «бес» (Бесов, Бесенов). В основе Бесолова нет ничего демонического — это бытовое прозвище, а не религиозное. Ошибка возникает из-за того, что в устной речи «бессолый» звучало как «бесолый», и написание с одной «с» закрепилось в документах.

Географически фамилия тяготеет к югу России и востоку Украины. Встречается у казаков, что логично: в казачьей среде прозвища, метко описывающие человека, давались часто и легко переходили в фамилии. Бесолов — не дворянская и не крестьянская по происхождению, а именно прозвищная, демократическая. Редкая двойная буква «с» в корне (если писать «Бессолов») — это уже поздняя книжная норма, которая не прижилась в народном произношении.

В словарях фамилию не фиксируют как распространённую, что говорит о её локальном характере. Если ваши предки — Бесоловы, скорее всего, они выходцы из одной конкретной местности, где прозвище Бесолый было в ходу. Это не фамилия-загадка, а прямое и грубоватое описание, которое в XIX веке могло смениться на более благозвучную, но устоялось именно в этом виде.