Фамилия Безбожный — это прозвище, которое стало наследственным. Скорее всего, так называли человека, открыто не придерживавшегося религиозных взглядов или не верившего в Бога. Однако у слова «безбожный» было и другое, более широкое значение — «бессовестный, бесстыдный, преступный». Поэтому не исключено, что прозвище мог получить человек, который своими поступками заслужил резкое осуждение окружающих, а не обязательно атеист в современном смысле слова.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: основа «безбожн-» и типичный фамильный суффикс -ый, характерный для русских полных прилагательных. Такие фамилии (Толстой, Горбатый, Кривой) часто указывали на отличительную черту человека. В данном случае прозвище носило ярко выраженный оценочный характер.

Интересно, что фамилия Безбожный — редкая. В дореволюционной России, где православие было государственной религией, открытое прозвище «безбожник» звучало резко и могло закрепиться за человеком с неортодоксальными взглядами либо за тем, кого так «наградила» община за аморальный поступок. После 1917 года слово «безбожник» стало идеологическим термином (журнал «Безбожник», Союз воинствующих безбожников), но фамилия возникла задолго до этого и никак с советской пропагандой не связана.

Встречается фамилия в основном в южнорусских и украинских регионах, где прозвища на -ый особенно распространены. Сравните с однокоренными, но редкими фамилиями Безбогов, Безбожко — все они восходят к той же смысловой основе.