Фамилия Безклейная — редкий случай, когда написание сразу выдаёт историю. В современном русском языке приставка «без» в таких словах пишется слитно, а форма «безк» с глухой согласной на стыке — это дореформенная орфография. До 1918 года приставку «без-» перед глухими согласными писали через «з», но в народном, неканоническом написании встречалось и «безк». Скорее всего, фамилию записали именно так, со слуха, в документах XIX — начала XX века. В академическом варианте она выглядела бы как «Бесклейная», но закрепился именно этот, «неправильный» с точки зрения современных правил, но исторически ценный облик.

Основа фамилии — слово «клей» или «клеить». Безклейная — это либо прозвище женщины, либо фамилия, образованная от прозвища мужа (Безклейный) через суффикс -ая, что характерно для южнорусских и украинских говоров. Прозвище Безклейный могли дать человеку, который не использовал клей в своей работе — например, столяру или сапожнику, работавшему без склеивания деталей, на гвоздях или нитках. Но есть и другая, более прозаичная версия: в некоторых говорах «клей» означал не только вещество, но и «слюну», «вязкую слюну» у животных. Тогда «безклейный» — тот, у кого «нет слюны», то есть молчаливый, неразговорчивый, либо, наоборот, человек с сухой речью.

Фамилия явно недворянская и не семинарская (книжных суффиксов -ский/-цкий нет). Это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в среде, где прозвища давали по бытовым признакам. Географически она тяготеет к югу России и востоку Украины: форма на -ая (а не на -ой) типична для курско-орловских, воронежских и харьковских говоров. Встречаемость крайне низкая — это штучная фамилия, а не массовая.

Интересно, что в одном ряду с Безклейной стоят фамилии Безкровный, Безрукавый, Безносый — все они образованы по той же модели: отрицание «без-» плюс признак. Но Безклейная выделяется тем, что её основа не анатомическая, а ремесленная или поведенческая, что делает расшифровку менее очевидной. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был из среды мастеровых людей, возможно, плотников или сапожников, но с характером, который окружающие сочли «сухим» или неразговорчивым.