Фамилия Бибишкин — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять её, нужно разобрать слово по косточкам, и здесь мы сталкиваемся с интересным выбором между двумя совершенно разными корнями.

Первый и самый очевидный путь — через тюркские языки. Основа «биби» в тюркском (татарском, башкирском, казахском) означает «госпожа», «барыня», «почтенная женщина» или «старшая жена». Это слово часто входило в состав женских имён (Бибинур, Бибихадича). Далее идёт суффикс -шк-, который в русских фамилиях обычно указывает на прозвищное происхождение (сравните: Ванька — Ванишкин, Петька — Петишкин). То есть Бибишка — это уменьшительное или пренебрежительное обращение к женщине по имени Биби. Фамилия Бибишкин, таким образом, могла означать «сын (или человек) Бибишки» — то есть потомок женщины, которую звали Биби, или же человека, носившего прозвище Бибишка (например, за женственный характер или за то, что был «маменькиным сынком»). Эта версия кажется самой правдоподобной, учитывая, что фамилии на -ин в русской традиции часто образовывались от женских имён (Марьин, Катин).

Вторая версия — от глагола «бибикать», то есть издавать звук «би-би», как автомобильный гудок или детская игрушка. В этом случае Бибишка — прозвище для болтливого человека, любителя повторять одно и то же, или, в более позднее время, для шофёра. Эта версия менее вероятна, так как звукоподражательные прозвища обычно давались по более ярким звукам (Громов, Свистунов), но исключать её полностью нельзя, особенно если фамилия возникла в XX веке.

География фамилии говорит сама за себя. Бибишкины — редкая фамилия, и её очаги встречаются в Поволжье (Татарстан, Башкортостан, Ульяновская область), что прямо указывает на тюркское происхождение основы. Там, где веками жили рядом русские и татары, такие «гибридные» фамилии — норма.

Если коротко: ваш предок, скорее всего, носил прозвище Бибишка. Или он был сыном уважаемой женщины по имени Биби, или же его самого так дразнили. Тюркский корень здесь выглядит основным, а русские суффиксы «причесали» это слово под привычную фамильную форму.