Фамилия Бибишев образовалась от прозвища Бибиш, а вот что это прозвище значило — тут учёные спорят. Самая распространённая версия ведёт к тюркским корням: слово bibik в ряде тюркских языков означает «ребёнок», «кукла» или даже «зрачок глаза». Близко к нему и турецкое bebek — с тем же значением «маленький ребёнок» или «кукла». Многие лингвисты считают, что эти слова восходят к общему источнику, так что прозвище Бибиш могли дать либо младшему в семье, либо человеку с очень маленьким ростом.

Но есть и другие объяснения. В русских говорах, особенно там, где занимались выделкой растительного масла, бытовало слово «бибика» — так называли выжимку, остающуюся после отжима. Если предок носил прозвище Бибиш, он вполне мог быть маслоделом или торговцем этим продуктом. А вот на Псковщине в начале XX века слово «бибик» (или «бибиш») имело иное значение — так говорили о человеке с физическим недостатком. Какая из версий верна для конкретной семьи, теперь не узнать, но все они показывают, что фамилия Бибишев — не случайный набор звуков, а метка, за которой стоит либо внешность, либо занятие, либо возраст предка.

Словообразовательная модель проста: к основе Бибиш добавили типичный русский суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Бибишев). То есть фамилия буквально означает «сын Бибиша» или «потомок Бибиша». Такая модель — одна из самых распространённых в русских фамилиях, но интересна сама основа: она не славянская, а заимствованная, что указывает на возможные тюркские корни рода или на долгое соседство с тюркоязычными народами. Фамилия редкая, в списках частотных не значится, а значит, носители, скорее всего, происходят из одной или нескольких локальных групп, где прозвище прижилось и закрепилось.