Фамилия Бибишкина звучит необычно, но её происхождение укладывается в несколько понятных моделей. Прежде всего, это женская форма фамилии Бибишкин. В основе лежит прозвище или имя Бибишка, которое могло образоваться двумя разными путями.

Первый и самый вероятный вариант — от тюркского слова «биби». В языках народов Поволжья и Средней Азии (татарском, башкирском, казахском) «биби» означает «госпожа», «хозяйка», а также уважительное обращение к старшей женщине или к матери. Суффикс -шк- в русских фамилиях часто придаёт уменьшительно-ласкательный или пренебрежительный оттенок, но в данном случае он мог просто русифицировать тюркскую основу. Таким образом, Бибишка — это ласковое или обиходное прозвище женщины, которую уважительно называли «биби», либо уменьшительное от имени Биби (как, например, Бибинур или Бибихадича). Фамилия, скорее всего, закрепилась за детьми или потомками такой женщины, то есть пошла от матери, что для русской традиции встречается реже (матримониальные фамилии), но для татаро-башкирской среды, где женские имена часто становились основой для фамилий, — вполне обычно.

Вторая версия — от русского диалектного слова «бибикать» (издавать звук «би-би», сигналить) или от детского лепета. В этом случае Бибишка могло быть шутливым прозвищем маленького ребёнка, который постоянно гудел или подражал звукам, либо взрослого человека с громким голосом. Однако эта версия менее правдоподобна: прозвища от звукоподражаний чаще давали по конкретному поведению («Бибика» — тот, кто сигналит), а суффикс -шк- в русских фамилиях редко образует прозвища от глаголов — обычно он стоит в именах (Ванюшка, Маришка).

Географически фамилия Бибишкина встречается в регионах с сильным татарским и башкирским влиянием — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях. Если ваши предки оттуда, то первая версия почти наверняка верна. В таком случае фамилия — не про ремесло или сословие, а про семейное прозвище, которое закрепилось за родом от уважаемой женщины по имени или прозвищу Биби.