Фамилия Бибяков — один из тех случаев, когда привычная модель «от имени/прозвища» наталкивается на неочевидную основу. На слух она кажется татарской или башкирской, и это верное направление: скорее всего, перед нами русифицированная форма тюркского имени или прозвища. Суффикс -ов указывает на стандартный для русских фамилий патроним (чей? — Бибяков), то есть предка звали Бибяк.

Что такое Бибяк? Можно выделить два правдоподобных объяснения. Первое: это вариант тюркского имени Бибиак, где «биби» — уважительное обращение к женщине, старшей родственнице, а «ак» — белый, чистый, благородный. В таком случае имя могло означать «чистая госпожа» или «почтенная мать» — но это женская основа, а фамилия мужская. Здесь, вероятно, сработала модель, когда сына называли уменьшительно-ласкательным от материнского имени (Биби — Бибяк), что встречается у тюркских народов.

Вторая версия — тюркское «бибяк» как вариант слова «бибек» (верблюжонок) или «бибек» (детёныш вообще). Прозвище могло относиться к человеку с мягким, пугливым нравом либо, наоборот, к тому, кто пас верблюдов. В словаре тюркских языков есть и «бибак» — «маленький, крошечный», что тоже годится для прозвища.

Географически фамилия Бибяков встречается в Поволжье и Приуралье — там, где исторически плотно жили татары, башкиры и чуваши, а затем переходили в православие и получали русские фамильные формы. В документах XVII–XVIII веков можно встретить служилых татар и новокрещенов с этой фамилией. В некоторых случаях Бибяковыми становились выходцы из села Бибяково (есть такое в Татарстане), то есть фамилия могла пойти от названия деревни, а не напрямую от имени.

Интересная деталь: фамилия писалась и как Бебяков — через «е» в первом слоге. В говорах это могло быть результатом аканья или просто особенностью записи в приказных избах. Поэтому при поиске предков стоит проверять оба варианта написания.