Фамилия Бибякова — женская форма фамилии Бибяков, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель на -ов/-ев в русских фамилиях означает «чей?» — то есть «сын Бибяка» или «человек из рода Бибяка». Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог: Бибя́ков. Это указывает на то, что основа — Бибя́к, а не Би́бяк, что важно для поиска прозвища.

Корень «биб-» в русских говорах и ономастике нередко связывают со звукоподражанием или детской речью. «Бибя» или «бибяка» в диалектах могло означать что-то маленькое, нежное или, наоборот, невнятно говорящего человека — того, кто «бибикает», то есть издаёт нечленораздельные звуки. Встречается и версия, что это вариант тюркского имени Биби (госпожа, женщина), но она менее вероятна для фамилии с русским суффиксом -як, который типичен для прозвищ (ср. Гуляк, Шумяк). Прозвище Бибяк могли дать ребёнку или взрослому с мягким, «сюсюкающим» говором.

Географически фамилия Бибяков (и её женская форма) редкая, но встречается в Поволжье и на Урале — регионах, где русские фамилии часто образовывались от прозвищ, а не от крестильных имён. Сословно носители могли быть крестьянами или мещанами: фамилия не содержит дворянских суффиксов (-ский, -инов) и не указывает на принадлежность к духовенству.

В написании важно помнить, что вариант Бибякова не следует путать с Бибиковым — более известной дворянской фамилией, образованной от имени Бибик (уменьшительное от Вивиан или от тюркского «бий» — князь). У Бибяковых другая основа: не Бибик, а Бибяк, с другим суффиксальным оформлением и, вероятно, другим значением. Если ваш предок — Бибяков, то его прозвище, скорее всего, было шутливым или описательным, а не знатным.