Фамилия Бибекова — женская форма, а её мужской вариант Бибеков — куда чаще встречается в документах. Основа здесь неочевидна с первого взгляда, и это как раз тот случай, когда за привычным «-ов» скрывается не славянское, а тюркское имя.

Скорее всего, в основе лежит тюркское мужское имя Бибик или Бибек. В тюркских языках «биби» означает «госпожа», «хозяйка», но также может быть ласкательным обращением к старшей сестре или бабушке. Суффикс «-ек» — уменьшительно-ласкательный, так что Бибек — это что-то вроде «маленькая госпожа» или ласковое прозвище ребёнка. Такие имена были распространены у башкир, татар, казахов и других народов.

Фамилия Бибеков (и Бибекова) — типичный пример русификации: к тюркскому имени добавили русский патронимический суффикс «-ов», который указывает на принадлежность («чей сын?» — Бибеков). Значит, предок носителя фамилии — человек по имени Бибек. Род, скорее всего, из Поволжья, Приуралья или Западной Сибири — регионов, где веками жили тюркские народы в тесном контакте с русскими.

Встречается и более редкая версия — от тюркского слова «бибек» или «бибеке» в значении «младенец», «дитя». Тогда фамилия могла закрепиться за многодетным отцом или, наоборот, за человеком, которого в детстве так дразнили за маленький рост. Но первая версия — с именем — правдоподобнее: личные имена чаще становились основой для фамилий, чем нарицательные прозвища.

Фамилия не слишком распространённая, но и не редкая. Встречается у татар, башкир, реже — у русских, чьи предки жили в смешанных с тюрками регионах.