Фамилия Бирецкий — одна из тех, где простота звучания обманчива, а происхождение приходится восстанавливать по косвенным признакам. На слух она кажется «географической»: суффикс -цк- (в форме -цк-ий) в русских фамилиях почти всегда указывает на связь с местностью, откуда человек родом. Так образованы фамилии от названий сёл, городов или урочищ — например, Троицкий от Троицка или Островский от Острова. Логично предположить, что Бирецкий — это «тот, кто из Бирца» или «из Бирки».

Но загвоздка в том, что на карте нет известного населённого пункта «Бирец» или «Бирецк» в границах исторической России, Украины или Беларуси. Это заставляет искать корень в другом месте. Основа Бир- может восходить к тюркскому слову «бир» — «один». В татарских и башкирских прозвищах такое встречалось: Бир могло означать «единственный», «первый» или даже быть частью составного имени (например, Бир-бай). Если фамилия действительно тюркского происхождения, то суффикс -цк-ий появился уже при русификации — так крещёные татары или башкиры нередко оформляли свои фамилии на польский или малороссийский манер.

Вторая версия ведёт в польскую ономастику. В польском языке есть слово biret — «берет» (головной убор), а также bireta — так называлась шапочка католических клириков. Отсюда могло возникнуть прозвище Бирет или Бирец — для человека, который носил такой головной убор, либо для служителя при костёле. Суффикс -цк-ий здесь совершенно естественен для польской фамильной модели (сравните: Birecki). В этом случае Бирецкий — потомок либо священника, либо мастера-шапочника.

Третья, самая прозаическая гипотеза — отчество от прозвища Бирь или Бира, которое в северных русских говорах могло означать «ворчун», «брюзга» (ср. диалектное «бирить» — ворчать). Тогда Бирецкий — это «сын Бири», а суффикс -цк-ий указывает не на географию, а на принадлежность к роду. Такое словоупотребление встречается в архангельских и вологодских говорах, и если ваши предки были оттуда — эта версия наиболее вероятна.

Сословная принадлежность носителей фамилии не закреплена: Бирецкие встречаются и среди крестьян (особенно на юге России и в Сибири), и среди духовенства (польский вариант), и среди мелкой шляхты на западе. Однозначного ответа нет, но наиболее убедительной выглядит связь с польским прозвищем по головному убору — из-за органичного сочетания корня и типично польского суффикса.