Фамилия Битюгина — женская форма, а мужской вариант, Битюгин, образован по стандартной русской модели с суффиксом -ин. Это указывает на принадлежность: Битюгин — значит «сын Битюги» или «человек из семьи Битюги». Сама основа, Битюга, — это прозвище, и его происхождение стоит разобрать внимательнее, потому что здесь возможны два совершенно разных корня, и один из них географический.

Самая вероятная версия отсылает к реке Битюг — левому притоку Дона, протекающему по территории Воронежской, Липецкой и Тамбовской областей. В таком случае Битюгой называли выходца с берегов этой реки, переселенца или человека, долго жившего в тех краях. Гидронимические прозвища — распространённый источник русских фамилий, особенно в южнорусских регионах, где названия рек часто становились основой для семейных имён. Подтверждением служит и фамилия Битюков (от того же корня), и реальные говоры, где «битюг» — не только река, но и порода крупных тяжеловозных лошадей, выведенная именно в воронежских землях. Однако вряд ли прозвище дали напрямую за сходство с лошадью: скорее, и коня, и человека назвали по одной и той же реке — Битюг.

Вторая версия, менее популярная, но имеющая право на существование, связывает прозвище с диалектным глаголом «битюжить» — работать не покладая рук, тяжело трудиться, а также с прилагательным «битюжий» — крепкий, плотный, коренастый. В этом случае Битюга — прозвище сильного, выносливого человека, работяги. Такое объяснение не противоречит географии: в тех же южных говорах слово бытовало.

Суффикс -ин типичен для фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я: Битюга — Битюгин. Это указывает на древнюю, ещё допетровскую модель, когда фамилии складывались в крестьянской и посадской среде. Сословной привязки у фамилии нет: Битюгины могли быть и крестьянами, и мещанами, и однодворцами — в Воронежской губернии, где река Битюг протекает, как раз были распространены однодворческие фамилии с такой же морфологией.

Если ваши предки — Битюгины из Центрального Черноземья, почти наверняка их прозвище пошло от реки. Если же корни уходят дальше на север или запад, стоит проверить вариант с «битюжить» — но он менее надёжен. В любом случае, фамилия редкая, с ясной внутренней формой и без натяжек.