Фамилия Бобринёв происходит от нецерковного имени или прозвища Бобр (Бобер). В основе лежит древнерусская традиция называть детей именами животных, чтобы природа воспринимала ребёнка как своего и передала ему полезные качества — в данном случае трудолюбие и хозяйственность, свойственные бобру. Такие имена, как Волк, Медведь, Бобр, были распространены на Руси до XVII века, пока церковь не начала активно вытеснять их крестильными.

Менее вероятная, но возможная версия — прозвище Бобер могли дать человеку за схожесть с этим зверем: за густые волосы, неторопливость или за привычку что-то запасать. В любом случае, основа фамилии ясна: корень «бобр-» и суффикс «-ин-», который указывает на принадлежность («чей?» — Бобрин, то есть сын Бобра). А конечный суффикс «-ёв» в фамилии Бобринёв — это результат фонетического изменения: в говорах, где «ё» звучит под ударением, «Бобрин» превратилось в «Бобринёв» по аналогии с фамилиями на -ев (ср. Бобров — Бобринёв, хотя обычно -ев присоединяется к основам на мягкий согласный). Такая модель редка: обычно от имени Бобр образуется Бобров, а Бобринёв — вариант, закрепившийся в конкретной местности.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южнорусским областям, где был распространён говор с «ёканьем». Встречается также форма Бобринев (без «ё»), но она менее типична. Прямых связей с графским родом Бобринских (внебрачные дети Екатерины II) у Бобринёвых нет — это разные модели образования: -ский указывает на дворянское происхождение, а -ин/-ёв — на крестьянское или посадское.

Итог: фамилия Бобринёв — редкий вариант отчества от мирского имени Бобр. Ваш предок, скорее всего, был простым человеком, которого в быту звали Бобром, и это прозвище закрепилось за его потомками в форме, характерной для определённого диалекта.