Фамилия Бочкаревы, как и многие русские фамилии на -ев, образована от прозвища или профессии отца. Основа здесь — «бочкарь», то есть мастер, который делает бочки. В старину это ремесло называлось бондарством, а самого мастера могли величать по-разному: бондарь, бочар, бочкарь. Слово «бочкарь» встречается в северных и центральных говорах, в отличие от более распространённого «бочар» на юге и западе. Поэтому фамилия Бочкарев изначально звучала как Бочкарёв — с ударением на последний слог, что указывает на принадлежность: «чей сын?» — «Бочкарёв».

Интересно, что в написании «Бочкареы» вы, скорее всего, ошиблись: исторически и орфографически правильная форма — Бочкарёв или Бочкарев (с буквой «е» на конце). Окончание «-ы» встречается в фамилиях, образованных от притяжательных прилагательных во множественном числе (типа Бочкарёвы), но в единственном числе пишется через «-в». Если вы искали именно вариант с «-ы», то это форма множественного числа, обозначающая весь род или семью (например, «семья Бочкарёвых»).

Ремесло бондаря было востребованным, но не самым престижным. Бочки нужны были везде: для хранения зерна, рыбы, мёда, вина, пороха. В XVI–XVII веках бочкари часто селились слободами, и фамилия могла закрепиться за целым родом, жившим в одной местности. По данным ономастов, фамилия Бочкарёв особенно распространена в Воронежской, Тамбовской и Рязанской областях — регионах, где бондарное дело было массовым из-за развития сельского хозяйства и винокурения.

В отличие от фамилий на -ин (Бочкин, Бочкарин), которые тоже образованы от «бочка», суффикс -ев в Бочкарёве чётко указывает на прозвище или профессию отца, а не на прямое имя. Споров о происхождении почти нет: все версии сходятся к ремеслу. Редкая гипотеза, что «бочкарь» могло быть прозвищем полного или коренастого человека, звучит неубедительно — в говорах для такого значения чаще использовали слово «бочка» напрямую. Так что ваш предок почти наверняка был бондарем.