Фамилия Бочров — редкий случай, когда неясно не только происхождение, но даже ударение. Если исходить из типичной модели, это отчество от прозвища или имени Бочр. Но такого имени в святцах нет, а прозвище Бочр не фиксируется в древнерусских документах. Значит, скорее всего, перед нами искажённая или диалектная форма более распространённой фамилии.

Самая вероятная версия: Бочров — вариант фамилии Бочаров. В русских говорах, особенно на юге и в Поволжье, «а» после мягких согласных могло переходить в «о» под ударением или в безударной позиции произноситься нечётко. На письме это закрепилось: бочар (тот, кто делает бочки) дал фамилию Бочаров, а в отдельных семьях или при записи в церковной книге её записали как Бочров. Суффикс -ов стандартный, указывает на принадлежность: «сын бочара» или «из семьи бочара». Ремесло бондаря было повсеместным, так что географических ограничений у этой версии нет.

Есть и другая, менее вероятная гипотеза: основа не от ремесла, а от прозвища Бочок (от слова «бок»). В этом случае форма Бочров могла возникнуть через промежуточную стадию Бочков — с выпадением суффикса -к- и упрощением. Но цепочка «Бочок → Бочков → Бочров» — натяжка, в документах такие переходы редки. Прозвище Бочок давали полному или широкоплечему человеку, и фамилия Бочков действительно встречается. Однако превращение в Бочров не объяснить регулярными фонетическими законами — это, скорее, ошибка писаря.

Третья версия притягивает за уши: от слова «бочок» как уменьшительной формы от «бог» (в диалектах «бох»). Но для фамилий на -ов основа обычно берётся от полной формы имени (Богдан, Борис), а не от усечённой. Поэтому эту гипотезу стоит отбросить.

По сути, фамилия Бочров — либо поздняя орфографическая дубль к Бочарову, либо редкая ошибка при переписи. Встречается она преимущественно в центральных и южных областях России, но массовой не стала. Носителей мало, что подтверждает её вторичный характер. Если ваши предки — Бочровы, с высокой долей вероятности они были потомками бондаря, просто фамилию записали на слух, с местным «оканьем».