Фамилия Боеров — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает исходное слово. На слух она звучит как «Баеров», и именно так её и стоит разбирать: через букву «а». В русских фамилиях на -ов основа чаще всего восходит к имени или прозвищу, и здесь основа — Баер (или Баир).

Самая прямая версия: прозвище Баер (от тюркского «бай» — богатый, господин, хозяин). В татарском и башкирском «бай» дало множество имён и прозвищ, а форма «Баер» могла возникнуть как диалектный вариант или через добавление аффикса. Человек, которого называли Баером, мог быть зажиточным, влиятельным или просто хозяином дома. Фамилия Боеров тогда — это «сын Баера» или «из рода Баера».

Есть и менее очевидная, но лингвистически возможная версия: связь с немецкой фамилией Bayer (Баер). Немцы-колонисты в XVIII–XIX веках оседали в Поволжье и на юге России, и их фамилии нередко русифицировали: Bayer превращался в Баер, а затем в Боеров из-за аканья и народной этимологии (буква «о» в написании могла появиться под влиянием привычного суффикса -ов). В этом случае предок носителя — выходец из Баварии (Bayer и значит «баварец»).

Обратите внимание на суффикс. В фамилии Боеров нет типичного для русских фамилий суффикса -ин (как в Боерин), а стоит -ов. Это указывает на то, что прозвище или имя Баер воспринималось как мужское и склонялось по второму склонению (как «стол» — «столова»). Географически фамилия встречается разрозненно, без явного гнезда в одном регионе, что подтверждает: она могла возникнуть в разное время и в разных местах — у татарских родов, принявших православие, и у потомков немецких колонистов.

Главное, что стоит запомнить: не пишите фамилию через «а» — Боеров пишется через «о», но произносится и исторически связан с «а». Это одна из тех фамилий, где орфография застыла, а звучание ушло вперёд.