Фамилия Богорский — редкий случай, когда географическая основа почти очевидна, но не даёт однозначного ответа. Суффикс -ский традиционно указывает на происхождение от топонима: такую фамилию получал человек, владевший или живший в месте с названием Богоры, Богорка или Богорье. Однако ни один крупный населённый пункт с таким корнем не зафиксирован в современных атласах. Скорее всего, речь идёт о микротопониме — небольшой речке, урочище или хуторе, который существовал локально и не попал в общероссийские реестры.

Есть и другая версия, менее очевидная, но лингвистически допустимая. В некоторых говорах «богор» или «богорь» могло быть прозвищем человека набожного, богомольного, либо, наоборот, того, кто часто поминал Бога всуе. В таком случае фамилия Богорский образована не от названия места, а от прозвища, и суффикс -ский здесь работает как притяжательный, указывающий на принадлежность: «сын Богорого». Такая модель встречается реже, чем топонимическая, но в русской ономастике известна.

Словообразовательно фамилия проста: корень богор- (от «Бог» с чередованием г/ж? нет, здесь г сохраняется) плюс типичный дворянский или шляхетский суффикс -ский. В XVIII–XIX веках фамилии на -ский часто присваивали выходцам из духовного сословия — семинаристам, которые получали «искусственные» фамилии по названиям церквей или по благочестивым понятиям. Богорский мог быть образован от праздника Богородицы или от храма в честь Богородицы (Богородицкий — более частая форма, но сокращение до Богорский тоже встречается).

Встречаемость фамилии крайне низкая. По данным современных телефонных справочников и баз, Богорские изредка фиксируются в центральной России и в Поволжье, но нигде не образуют плотных гнёзд. Это говорит о том, что фамилия не разошлась широко от одного родоначальника, а возникала в разных местах независимо — каждый раз по своему поводу.

Итог: Богорский — фамилия с прозрачной внешней формой, но с несколькими равновероятными объяснениями. Самый реалистичный путь — топонимический, от забытого селения или урочища. Духовное происхождение — вторая по вероятности гипотеза. Прозвищная версия слабее, но отбрасывать её полностью нельзя, пока не обнаружится конкретный исторический источник.