Фамилия Богцукая звучит необычно для русского уха, и это первый ключ к её происхождению. Она явно не вписывается в ряд типичных русских фамилий на -ов, -ин или -ский. Её основа и окончание выдают иную, скорее всего, украинскую или южнорусскую природу.

Разберём по составу. Окончание -ая — типично для полных прилагательных женского рода в русском языке, но фамилия стоит в женской форме. Мужской вариант, логично предположить, — Богцукий. Такая модель (на -цкий/-цкая) очень характерна для украинской и польской ономастики, особенно для фамилий, образованных от названий мест (топонимов) или прозвищ. Корень «Бог-» сразу отсылает к слову «Бог». Вторая часть, «-цук-», скорее всего, является искажённым или диалектным вариантом от «щук» (щука) или от «цук» (в некоторых говорах — «пёс», «собака», но это менее вероятно). Самая правдоподобная версия — фамилия образована от прозвища Богцук (Бог- + -цук). В украинском языке суффикс -ук/-юк часто указывает на принадлежность к роду, на сына: «чей-то сын». Прозвище Богцук могло означать «Божий пёс» (в значении «верный, преданный Богу») или «Божья щука» (в значении «быстрый, хваткий, данный Богом»). Однако есть и более прозаичное объяснение: в основе может лежать слово «бог» в значении «богач, хозяин», а «цук» — искажённое «щук», то есть «богатая щука» — прозвище удачливого рыбака или хитрого человека.

Географически фамилия Богцукая (и Богцукий) встречается в основном на западе Украины, в Волынской, Ровенской, Хмельницкой областях, а также в прилегающих районах Беларуси. Это подтверждает её западноукраинские корни. В России она — редкость, и её носители, скорее всего, потомки переселенцев с Украины или из южных губерний Российской империи.

Что касается социального статуса, то такие фамилии обычно носили крестьяне и казаки. Фамилии на -ук/-юк в массе своей появились в XVII–XVIII веках и не принадлежали дворянству. Дворянские роды предпочитали модели на -ский, но в данном случае фамилия Богцукий могла возникнуть и как топонимическая (от названия села Богцуки или подобного), что иногда встречалось у шляхты. Однако большинство носителей — выходцы из простонародья.

Таким образом, если вы ищете корни фамилии Богцукая, ваш путь лежит на запад Украины. В основе — прозвище или название места, связанное с понятием «Бог» и, вероятно, с «щукой». Фамилия не древняя, а сформировавшаяся в поздний период, когда закреплялись родовые имена у непривилегированных сословий.