Фамилия Болет — редкий случай, когда корень слова почти наверняка не связан с тем, что приходит в голову в первую очередь. Никакого отношения к болезни здесь нет: основа восходит не к русскому «болеть», а к западноевропейским языкам. Чаще всего фамилию выводят из немецкого или французского прозвища.

Самая вероятная версия — немецкая. Фамилия могла образоваться от профессионального прозвища «Boleter» — так в некоторых диалектах называли человека, работавшего с болами (Bole), то есть с особыми видами глины или руды. В горнорудных районах Германии (Саксония, Гарц) это слово обозначало и мастера по добыче, и торговца глиной. Переселенцы из немецких земель в XVIII–XIX веках принесли эту фамилию в Российскую империю, где она и закрепилась в русифицированной форме без суффикса.

Вторая версия — французская. Во французском языке «bolet» — это название гриба-боровика (от лат. boletus). Прозвище могли дать грибнику, торговцу грибами или человеку с характерной внешностью (например, с широкополой шляпой, напоминающей грибную). Однако массового притока французских фамилий в Россию не было, поэтому эта гипотеза менее состоятельна для русской почвы.

Словообразовательная модель фамилии проста: она не получила типичных русских суффиксов -ов, -ев, -ин. Это указывает на позднее закрепление (скорее всего, в XIX веке), когда фамилию могли записать в документах прямо в исходной форме, без адаптации. Обратите внимание: в русском языке фамилия Болет склоняется как существительное мужского рода («я знаю Болета», «письмо Болету»), а в женском варианте не склоняется.

Географически фамилия встречается крайне редко. Основные очаги — Поволжье и юг Сибири, куда в XIX веке направлялись немецкие колонисты. В центральной России Болетов почти нет. Если ваши предки носили эту фамилию, с высокой долей вероятности они были либо потомками немецких мастеровых, либо (менее вероятно) выходцами из Прибалтики, где тоже бытовали немецкие фамилии.

Однокоренных фамилий в русском языке нет, но можно встретить варианты с другим окончанием — Болете, Болети, что указывает на польское или литовское происхождение (там суффикс -ец или -ич). В любом случае, фамилия Болет — не исконно русская, а пришлая, и её история тесно связана с миграцией ремесленников в Российскую империю.