Фамилия Борейкина — женская форма от Борейкин, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ин указывает на притяжательное значение: «чей?» — «Борейкин», то есть сын или потомок человека по прозвищу Борейка. Суффикс -к- в основе (Борей- + -к- + -а) — типичный для русских прозвищ уменьшительно-ласкательный или пренебрежительный оттенок, как в Ванька, Петька, Сережка.

Корень — Борей-. Здесь возможны два объяснения, и оба имеют право на жизнь. Первое: от имени собственного Борис через народные формы Боря, Борька. В русских говорах имя Борис нередко переходило в Борей (сравните: Илья — Илейка, Осип — Осея). Тогда Борейка — это «маленький Боря» или «Боря-слуга», а фамилия Борейкины — потомки человека по имени Борис. Это самая прямая версия, и она вполне правдоподобна: фамилий от канонических имён через уменьшительные формы — большинство.

Второй вариант: от прозвища, связанного с греческим богом северного ветра Бореем. Прозвища в честь античных божеств в крестьянской среде — редкость, но не исключение. Чаще так называли человека с ветреным, порывистым характером, либо, наоборот, медлительного и сурового («как Борей»). Однако для XVI–XVII веков, когда фамилии только закреплялись, такое прозвище звучит книжно. Вероятнее, что Борей — это всё-таки народный вариант Бориса, а не отсылка к мифологии.

Географически фамилия Борейкины встречается не повсеместно. Основные очаги — северо-запад России: Вологодская, Архангельская области, а также Поволжье. В переписях XVII века в Вологодском уезде фиксируются крестьяне Борейкины — это указывает на крестьянское или посадское происхождение. Дворянских родов с такой фамилией не известно.

Таким образом, Борейкина — фамилия, образованная от прозвища или имени Борейка, скорее всего связанного с именем Борис. Предки носительницы фамилии — русские крестьяне или посадские люди северных земель, получившие фамилию по имени деда или отца, которого в быту звали Борейкой.