Фамилия Борейкин — редкий случай в русской ономастике, где прозвище или имя могло образоваться от слова с мифологическим оттенком. В основе лежит «Борей» — имя северного ветра в древнегреческой мифологии. Но не спешите записывать предков в античные философы: на Руси Бореем могли прозвать человека с суровым, холодным нравом, либо того, кто жил на открытом, продуваемом ветрами месте. Вторая, более прозаичная версия, отсылает к диалектному слову «борей» — так в некоторых говорах называли бурю или сильный ветер. Прозвище Борей, а затем и фамилия Борейкин, могло закрепиться за человеком порывистым, резким или даже за тем, кто работал на ветряной мельнице.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Борейкин — «сын Борея». Модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или неканонических имён, оканчивающихся на -а, -я. В этом смысле Борейкин стоит в одном ряду с фамилиями вроде Ветров или Ветряков, но с более редкой и книжной основой. Интересно, что в русских говорах слово «борей» могло также означать «северный ветер» или «холод», что делает фамилию не просто метафорической, а связанной с природным явлением.

Географически фамилия встречается редко и преимущественно в центральных регионах России, например, в Нижегородской и Владимирской областях. В переписных книгах XVII–XVIII веков Борейкины не фигурируют как дворянский род — скорее всего, это крестьянская или посадская фамилия. За пределами России она почти не встречается, что только подчёркивает её локальный характер.

Сравните с однокоренными: Бореев, Борецкий. Первая — прямая от той же основы, вторая могла образоваться от топонима Борец (такие сёла есть в Беларуси и Польше). Борейкин же стоит особняком: суффикс -ин здесь не топонимический, а именно патронимический, что указывает на древнюю традицию именования по отцу. Если ваш предок носил прозвище Борей, то он, вероятно, выделялся характером или местом жительства — суровый, как северный ветер.