Фамилия Боргун — редкий случай, когда прозвище почти без изменений стало родовым именем. В ней нет типичных русских фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский, что сразу указывает на её позднее закрепление или нерусское происхождение. Скорее всего, перед нами фамилия украинского или южнорусского корня, где подобные «голые» формы встречаются чаще.

Основа фамилии — слово «боргун». В южных говорах и украинском языке «боргувати» означает «должать», «быть в долгу», а «борг» — сам долг. Соответственно, Боргуном могли прозвать человека, который постоянно брал в долг или, наоборот, давал в долг. Прозвища по финансовым отношениям — не редкость: вспомните фамилии Долгов, Займов, Кредитов. Боргун — из того же ряда, но с характерным украинским звучанием.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В тюркских языках слово «боргун» могло означать «крутой», «обрывистый» или относиться к местности. В Крыму и Причерноморье встречаются топонимы с корнем «борг» — например, урочище Боргун. Если предки носителя фамилии жили в такой местности или переселились оттуда, прозвище могло возникнуть по месту жительства. Однако эта гипотеза слабее: для русского уха фамилия звучит как типичное прозвище, а не как топонимическое название.

Суффикс -ун в славянских языках активен: он образует названия людей по характерному действию (бегун, крикун, молчун). Боргун — тот, кто «боргует», то есть имеет привычку брать в долг. Такая модель словообразования типична для украинских и белорусских фамилий, где прозвища часто переходили в фамилии без дополнительных суффиксов.

Фамилия редкая, в дореволюционных переписях почти не встречается. Основные очаги — Запорожье, Херсонщина, отчасти Кубань. Встречается и у крымских татар, но там это, скорее, вариант написания другой фамилии. Если ваши предки носили фамилию Боргун, они, вероятно, были выходцами из малороссийских губерний, и прозвище закрепилось за ними ещё в XVIII–XIX веках.