Фамилия Борзенкова, как и многие русские фамилии, образована от прозвища. В её основе лежит слово «борзой» — в старину так называли быстрого, резвого человека (от древнерусского «борзый» — скорый, проворный). Это же слово дало название породе борзых собак, но прозвище Борзой чаще относилось к человеку, а не к животному.

Есть и другая, не менее правдоподобная версия: прозвище могло быть «профессиональным». Борзым на Руси нередко называли гонца или скорохода — человека, который доставлял важные вести, передвигаясь быстрее других. В этом случае фамилия Борзенкова хранит память о занятии предка, а не о его характере.

Фамилия образована по стандартной для русского севера и центра модели: к основе Борз- добавился суффикс -енк-, который в уменьшительной форме указывал на «маленького Борзого» или «сына Борзого». Такая модель (Борз — Борзенко — Борзенков) типична для украинского и южнорусского влияния: суффикс -енко чаще встречается на юге, а затем «обрусел» через добавление -ов. Таким образом, предок носителя фамилии мог быть выходцем с украинских земель или из южных областей России, где такие прозвища были особенно распространены.

Встречается фамилия Борзенкова и в старых писцовых книгах, и в современных справочниках — чаще всего в Курской, Белгородской и Воронежской областях, что косвенно подтверждает южное происхождение. Интересно, что однокоренные фамилии (Борзов, Борзых, Борзенко) разошлись по разным регионам, а Борзенковы закрепились именно в черноземной полосе, где «борзый» в значении «проворный» долго сохранялось в местных говорах.