Фамилия Борзенковы (встречается также вариант Борзёнковы) произошла от личного прозвища, как и большинство русских фамилий. Разобраться в её происхождении помогает слово «борзый» — быстрый, стремительный, проворный, бойкий. В старину так говорили о человеке, который всё делал быстро и ловко, или о смелом и рьяном в работе мастере. Второй возможный источник — глагол «борзиться», то есть торопиться, ретиво браться за дело. Таким образом, прозвище Борза или Борзый мог получить трудолюбивый ремесленник или просто расторопный человек.

Менее вероятная, но упоминаемая в словарях версия связывает фамилию с борзыми собаками: прозвище мог закрепиться за любителем псовой охоты. Однако эта гипотеза считается слабее, так как в народе «борзым» чаще называли самого человека, а не его занятие.

Особенность фамилии Борзенковы — суффикс -енк(ов). Сначала от прозвища Борзый образовалось имя Борзёнок (с уменьшительным суффиксом -ёнок, как «маленький Борзый» или «сын Борзого»). Затем от этого имени по стандартной модели появилась фамилия Борзёнков (а в безударном произношении — Борзенков). Такая словообразовательная цепочка — отчество от отчества — встречается реже, чем прямой переход от прозвища к фамилии на -ов, и делает эту фамилию заметной среди однокоренных.

О точном месте и времени возникновения фамилии Борзенковы сейчас говорить сложно: процесс формирования русских фамилий был долгим и шёл в разных регионах неодинаково. Можно лишь утверждать, что фамилия закрепилась в среде, где ценили расторопность и трудолюбие, а её основа — живое народное слово из разряда прозвищ по характеру.