Фамилия Борзенков (и её вариант Борзёнков) отсылает к прозвищу, которое давали человеку за характер или манеру поведения. Основа здесь — прилагательное «борзый», то есть быстрый, проворный, бойкий, смелый. В старину так говорили о том, кто всё делал стремительно и ловко. Вторая версия отталкивается от глагола «борзиться» — торопиться, ретиво браться за дело. В этом случае прозвище мог получить отличный мастер или ремесленник, который не отлынивал от работы.

Обратите внимание на суффикс -ёнок. В русской традиции он имел уменьшительное значение и часто указывал на младшего в семье: Борзёнок — это буквально «маленький Борзый», то есть сын человека с таким прозвищем. Со временем форма Борзёнков закрепилась как фамилия. Вариант Борзенков (без «ё») — более позднее упрощение на письме, когда букву «ё» стали заменять на «е» в документах.

Менее вероятная, но всё же возможная гипотеза связывает прозвище с борзыми собаками. Борзой могли назвать любителя псовой охоты или того, кто держал таких собак. Однако эта версия слабее: в основе фамилии чаще лежит характеристика самого человека, а не его занятие. Таким образом, предок современных Борзенковых, скорее всего, выделялся быстротой, проворством или трудолюбием.