Фамилия Бозаевы — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет стандартного для русских фамилий суффикса -ин или -ов, что сразу настораживает: перед нами не великорусская, а скорее всего, осетинская или тюркская фамилия, русифицированная при записи в документы. Форма «Бозаевы» — это русское окончание множественного числа (-ы), указывающее на род или семью, а сама основа «Боза» — это исходное имя или прозвище.

Наиболее вероятная версия — осетинские корни. В осетинском языке слово «боз» (бозæ) означает «прощение», «милость», «благодать». Имя Боза могло быть дано ребёнку как пожелание милости от Бога или как имя-оберег. В пользу этого говорит и распространённость фамилии: Бозаевы встречаются в Северной Осетии, особенно в Дигорском ущелье. Суффикс -ев в русской записи — это адаптация осетинского патронимического окончания (-ты) или просто передача звучания.

Менее вероятная, но возможная версия — тюркская. В тюркских языках «боз» означает «серый», «сивый», «седой». Прозвище Боза могли дать человеку с седыми волосами или с серой мастью скота, если предки занимались скотоводством. Однако для тюркских фамилий более типичны формы на -ов/-ев, а не на -ев с ударением на «а», поэтому осетинская гипотеза выглядит убедительнее.

Ещё один нюанс: в русских говорах слово «боза» встречается как диалектное название кислого напитка (из проса или гречки), но прозвище по напитку маловероятно для фамилии — такие случаи единичны и не имеют массового подтверждения.

Таким образом, Бозаевы — это фамилия, скорее всего, осетинского происхождения, связанная с именем-пожеланием «Боза» (милость, благодать). Встречается преимущественно на Кавказе, а её носители принадлежат к старой горской культуре, где имя часто становилось фамильным прозвищем целого рода.