Фамилия Бозаева — женская форма фамилии Бозаев. Её основа — мужское личное имя или прозвище Бозай, которое встречается у тюркских народов. В осетинском, ингушском и чеченском ономастиконе имя Бозай образовано от тюркского «боз» — «серый, сивый» (о масти лошади) или «лёд, холодный». Второй компонент «-ай» — типичный для тюркских имён уменьшительно-ласкательный суффикс. Таким образом, Бозай могло означать «сивый» (конь) либо «холодный, суровый человек». Встречается и версия, что основа восходит к арабскому «база» — «сокол», но она менее вероятна для кавказского региона.

Фамилия Бозаева распространена в Северной Осетии, Ингушетии и Чечне. В русской передаче фамилия закрепилась с окончанием -а, что характерно для женских фамилий у народов Кавказа. Мужская форма — Бозаев — образована по той же модели, что и многие осетинские фамилии: основа + суффикс -ев (или -ов), указывающий на принадлежность роду. Суффикс -ев здесь не русский патронимический, а адаптированный к русской грамматике при оформлении фамилий.

Предки носителей фамилии, скорее всего, были скотоводами или воинами — прозвище «сивый» давали либо по внешности (седой, светловолосый), либо по характеру, либо по коню, на котором ездили. В осетинской традиции фамилии часто закреплялись за целым родом, и Бозаевы могли быть выходцами из конкретного селения или фамильной группы. Среди носителей фамилии встречаются спортсмены, учёные, деятели культуры, но массовой известности фамилия не получила.

Однокоренные фамилии — Бозаев, Бозаевский, Боза — встречаются редко и в основном на Кавказе. В русском языке фамилия склоняется как обычное прилагательное: Бозаевой, Бозаеву. Ударение, по правилам осетинского произношения, падает на второй слог: Боза́ева.