Фамилия Бозыков — редкий пример, где основа почти наверняка тюркская, а суффикс — русский, причём не самый распространённый. Если бы фамилия звучала как Бозов или Бозин, вопросов бы не было: прозвище Боз (в тюркских языках — «серый», «сивый», а в переносном смысле — «неопытный», «молодой») легко ложится в стандартную модель. Но суффикс -ык- указывает на другой путь.

Скорее всего, в основе лежит тюркское имя Бозык. В тюркских языках суффикс -ык может придавать слову уменьшительный или ласкательный оттенок, либо образовывать прилагательное. Имя Бозык — «серенький», «сивый», «белесый» — могло быть детским или охранительным прозвищем, чтобы отвести сглаз. Такая практика была распространена у казахов, татар, башкир и других народов. Фамилия Бозыков образована по русской патронимической модели: Бозык + -ов, то есть «сын Бозыка». Это типичный случай, когда русская администрация или соседи фиксировали тюркское имя с русским окончанием.

Вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование, — от прозвища Бозык, связанного с глаголом «бозеть» (диалектное — «глупеть», «дуреть»). В некоторых русских говорах «боза» означала болтуна или пустомелю, а «бозык» — человека с придурью. Однако такая версия слабее: во-первых, фамилия почти не встречается в исконно русских регионах, во-вторых, ареал Бозыковых (именно с таким ударением на первый слог) тянется от Оренбуржья до Казахстана, что указывает на тюркский след.

Географически фамилия редкая. Найти её можно у казахов, татар и в смешанных русско-тюркских областях. В дореволюционных списках она почти не попадается, что говорит о позднем оформлении — скорее всего, в XIX — начале XX века, когда крестьянам и казахам, переходившим в оседлость, массово давали фамилии по имени отца. Сословно — вероятнее всего, крестьянский или казачий корень. Никаких дворянских родов Бозыковых не зафиксировано.

В написании возможен вариант Бозыков с ударением на последний слог (Бозыко́в), но в тюркской среде ударение, как правило, падает на первый. Если вы ищете свои корни, стоит смотреть метрические книги Оренбургской, Уральской, Тургайской областей — именно там фамилия могла закрепиться.