Фамилия Брикошина — женская форма от Брикошин, а в её основе лежит редкая модель образования. В отличие от массовых фамилий на -ов/-ев и -ин, здесь мы видим суффикс -ин, который в русской ономастике обычно указывает на принадлежность к конкретному лицу: «чей?» — Брикошин. То есть предка по мужской линии звали Брикоша.

Само прозвище Брикоша — загадка. Самый вероятный корень — южнорусское или украинское слово «брикати» (лягаться, брыкаться). В диалектах так могли назвать норовистого коня или, в переносном смысле, упрямого, своенравного человека, который «брыкается», не подчиняется. Суффикс -ош- (-оша) в прозвищах встречается редко и придаёт слову оттенок снисходительной или шутливой характеристики (сравните: Гриша, Миша — но там другой механизм). Здесь Брикоша — это не уменьшительное имя, а именно прозвище по характеру или поведению.

Версия с иноязычным корнем менее убедительна, но её стоит упомянуть. В некоторых говорах «брик» — это брусок, обрубок, но форма Брикоша тогда означала бы «коротышка» или «толстяк» (от «брыла» — губа, щека, но это уже натяжка). Связь с тюркскими корнями (например, «бёрк» — шапка, или «бирик» — объединение) маловероятна: суффикс -оша для тюркских заимствований в русских фамилиях нехарактерен.

Географически фамилия Брикошины тяготеет к югу России и востоку Украины: встречается в Ростовской, Волгоградской областях, в Краснодарском крае. Это косвенно подтверждает версию с «брикать» — слово активно в донских и кубанских говорах.

Сословно предки Брикошиных, скорее всего, были крестьянами или казаками. Фамилия недворянская, образовалась от уличного прозвища, а не от имени в святцах. Если искать однокоренные параллели, то Бриков, Брыков и Брыкалов — более частые варианты той же модели, где основа — тот же глагол «брыкать». Брикошин — более редкий, «шутливый» вариант с тем же значением: предка дразнили за строптивость или непоседливость.