Фамилия Чадайкина — женская форма фамилии Чадайкин, и её разговорный облик сразу наводит на мысль о неканоническом имени или прозвище в основе. Модель образования здесь одна из самых распространённых в русской ономастике: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — сын или дочь Чадайки). Но вот корень вызывает вопросы. В русских говорах слово «чад» означает дым, угар, а также переносно — ребёнка, дитя (отсюда «чадо»). Однако прозвище Чадайка вряд ли связано напрямую с ребёнком — скорее, перед нами диалектное или искажённое имя.

Вероятнее всего, Чадайка — это вариант имени Чадай, которое встречается в тюркских языках. Например, у татар и башкир имя Чагай (Джагай) означает «младший» или «удалой». В русских документах XV–XVII веков фиксируются люди с именем Чадай: так, в актах по Рязанскому краю упоминается крестьянин Чадай (середина XVI века). Переход «г» в «д» (Чагай → Чадай) возможен в результате народной этимологии или фонетического упрощения. Таким образом, Чадайкин — это «сын Чадая», а Чадайкина — соответственно, его жена или дочь.

Есть и другая, менее вероятная версия: от слова «чадить» — дымить, пахнуть гарью. В этом случае прозвище Чадайка мог получить человек, который работал у печи, кузнец или просто жил в курной избе. Но тюркская основа выглядит убедительнее, потому что суффикс -ай характерен для имён именно этого происхождения (Кудай, Болтай, Толмай). Спорных версий больше нет — фамилия редкая, и в письменных источниках всплывает нечасто.

Географически Чадайкины тяготеют к Поволжью и югу России — регионам, где веками соседствовали славянские и тюркские народы. Если ваши предки носили эту фамилию, они, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми из тех мест, где имя Чадай ещё помнили. Никакой громкой истории или дворянского герба за ней не числится — обычная русская фамилия, образованная от личного имени соседа-татарина или мордвина, которое прижилось в русской среде.