Фамилия Чичак — нечастая и звучит не по-русски. Её происхождение стоит искать не в славянском, а в тюркском мире. Самая прямая версия: в тюркских языках слово «чичак» означает «цветок». В турецком, азербайджанском, крымскотатарском «чичек» или «чичак» — это именно цветок, иногда «оспа» (от сходства с сыпью). Прозвище Цветок могли дать человеку красивому, нежному, либо родившемуся в пору цветения. Такие «растительные» прозвища были распространены у тюркских народов, а затем переходили в фамилии.

Второй, более редкий вариант — связь с украинским или польским диалектным словом «чичок», «чича» — так в некоторых говорах называли маленького ребёнка, детёныша. Если фамилия встречается на западе Украины или в Беларуси, возможна и такая основа. Но для русского уха «Чичак» всё-таки чужеродна: суффикс -ак в ней не типично славянский (ср. «казак», «чумак» — тоже заимствования), а окончание нулевое, что характерно для тюркских фамилий, пришедших в русскую среду без изменений.

Географически носители фамилии Чичак рассеяны: встречаются в России (особенно в Поволжье и на юге, где сильны тюркские влияния), на Украине, в Молдове. Встречается и у крымских татар, и у гагаузов. В русских документах фамилия могла закрепиться, когда тюркское прозвище «Чичак» дали человеку, а потом оно перешло к потомкам без добавления типичных русских суффиксов -ов или -ин. Это говорит о том, что предки, скорее всего, не были крепостными, а сохраняли некоторую автономию или принадлежали к казачьим или служилым слоям, где такие «голые» фамилии не переделывали.

Сравните с однокоренными: Чичев, Чичков — они уже обрусели, а Чичак осталась в исходной форме. Если вы носите эту фамилию, велика вероятность, что в вашем роду были выходцы из тюркской среды — татары, башкиры, ногайцы или крымчане. Прозвище «Цветок» могло быть и личным именем: у некоторых тюркских народов имя Чичак давали девочкам, но как фамилия оно закрепилось за мужчинами.