Фамилия Чичета — редкий случай, когда в основе лежит не русское, а итальянское слово, но сама фамилия при этом укоренилась на русской почве. Чтобы понять её происхождение, нужно смотреть не на суффикс (он здесь почти не выражен), а на корень и на то, как и где фамилия бытует.

Самая прямая версия: Чичета — это русифицированная форма итальянской фамилии Чичетта (Cicchetta) или уменьшительного имени Чиччо (Ciccio). В итальянских диалектах «чиччо» — ласковое обращение к ребёнку или к близкому человеку, что-то вроде «малыш», «крошка». Такая фамилия могла попасть в Россию через итальянских мастеров, архитекторов, артистов, которых приглашали ко двору в XVIII–XIX веках, или через выходцев из итальянских колоний в Крыму. Фонетическая адаптация — типичная: двойное «ч» и «т» на конце упростились, ударение, скорее всего, сместилось на второй слог.

Есть и более прозаичная, хотя и менее вероятная версия, связанная с местным говором. В некоторых южнорусских и украинских говорах «чичет» или «чичета» могли называть человека маленького роста, суетливого или похожего на птичку чечётку (от «чечет» — народное название птицы). В этом случае фамилия образовалась бы по модели прозвищ без суффикса, просто застыв в форме именительного падежа. Однако для русской ономастики такое оформление (Чичета, а не Чичетов или Чичетин) нетипично, что делает итальянскую версию более убедительной.

Географически фамилия встречается в основном на юге России, в Краснодарском крае и Ростовской области, а также на Украине. Это косвенно подтверждает обе версии: итальянские поселения были в Крыму и Приазовье, а южнорусские говоры — та же территория. Встречаются единичные случаи в Москве и Санкт-Петербурге, но это, скорее всего, результат миграции XX века.

С точки зрения словообразования, фамилия Чичета стоит особняком. В ней нет типичных русских фамильных суффиксов (-ов, -ин, -ский), что сразу выдаёт её нерусское происхождение или очень позднее закрепление. В русской традиции такие «голые» основы обычно оставались у фамилий, которые зафиксировали прозвище в той форме, в какой его произносили, без добавления притяжательного суффикса. Но в случае с Чичетой, скорее всего, мы имеем дело с транслитерацией иноязычной фамилии, которую не стали переделывать на русский лад.

В итоге: если вы носите фамилию Чичета, ваши предки с большой вероятностью были либо итальянцами, осевшими в России, либо, что реже, выходцами из южнорусских регионов, получившими прозвище по птице или внешности. Точнее сказать можно было бы только по конкретным архивным записям, но общая картина складывается достаточно ясная.