Фамилия Дагбашян звучит как типичная армянская фамилия, и это действительно так. Её основа — армянский топоним или прозвище. Разбираем слово по частям: «даг» с армянского переводится как «гора», «баш» — «голова» или «вершина» (в тюркских языках, откуда слово заимствовано), а суффикс «-ян» — классический патронимический показатель, означающий «принадлежащий к роду» или «сын». Таким образом, Дагбашян — это «сын того, кто с горной вершины». В армянской ономастике суффикс «-ян» вытеснил более древние «-енц» и «-унц» в XIX веке, поэтому фамилия могла закрепиться в письменной форме относительно поздно.

География фамилии привязана к историческим областям Западной Армении (ныне территория Турции) и Закавказья. Вероятнее всего, предки носителя фамилии жили в селе или местности под названием Дагбаш — такие топонимы встречаются в горах. В армянской среде фамилии часто образовывались от названия родного села с прибавлением суффикса «-ян»: человек из Дагбаша становился Дагбашяном. Вторая версия — прозвище: «дагбаш» могли дать человеку, жившему высоко в горах, или тому, кто выделялся ростом, осанкой («гора» + «голова»). Модель образования проста и прозрачна: корень + суффикс принадлежности, без дополнительных морфологических осложнений.

В отличие от русских фамилий на «-ов» или «-ин», армянские на «-ян» не указывают на сословие. Среди Дагбашянов могли быть и крестьяне, и ремесленники, и купцы — фамилия не даёт подсказки о социальном статусе. В дореволюционных записях эта фамилия могла писаться через «ъ» (Дагбашьянъ) или с удвоенной «н» (Дагбашянн) из-за особенностей русской транслитерации, но единого стандарта не было.

Единственное, что можно сказать с уверенностью: фамилия нередкая для армянской диаспоры, но не входит в число самых распространённых. Встречается в Армении, России, Грузии и странах Ближнего Востока. Сравните с однокоренными: Дагбашов (русифицированный вариант) или Дагбашянц (старая форма с «-ц»). Если ваша фамилия Дагбашян, то ваши предки почти наверняка происходили из горной местности, и их родовое имя закрепилось за местом или приметой внешности.