Фамилия Данивской звучит как типичная «географическая» фамилия, но с необычным окончанием. Если бы она была образована от названия местности, мы бы ожидали форму «Данивский» (мужской род) или «Данивская» (женский). Форма «Данивской» — это либо старая родительный падеж (кого? Данивского), либо, что вероятнее, украинская или белорусская женская фамилия, застывшая в такой записи. В русской традиции женские фамилии на -ская склоняются (Данивская, Данивской), а в украинской — часто не склоняются и пишутся через «о»: Данивской.

Основа фамилии — корень «Данив-». Он восходит к имени Данило (украинская форма от Даниил) или к топониму вроде села Данивка, которых немало на Украине. Если это от имени, то фамилия Данивский (Данивская) означает «потомок Данила» или «выходец из Данивки». В пользу украинского происхождения говорит и суффикс -ив-: для русского уха привычнее было бы «Даниловский», а «Данивской» — явный маркер западнорусских или малороссийских земель.

Встречается фамилия в основном на западе Украины, в Волынской и Ровенской областях, а также среди потомков переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. В дореволюционных метрических книгах можно найти запись «Данивской» как форму женского рода при мужском «Данивский» — например, «вдова Мария Данивская» или «дочь Анна Данивской» (родительный падеж). Со временем падежное окончание закрепилось как самостоятельная фамилия.

С точки зрения словообразования, это типичная «посессивная» фамилия: суффикс -ск- указывает на принадлежность к месту или роду. Редкость формы «Данивской» (а не «Данивская») делает её интересной для генеалогов: если вы носите такую фамилию, скорее всего, ваши предки были крестьянами или казаками из украинских сёл, а сама фамилия прошла через бюрократическую «ошибку» при записи в документах XIX века.