Фамилия Данык — редкий пример, где суффикс сразу выдаёт географию. В русских фамилиях обычны окончания -ов, -ин, -ский. Здесь же — -ык. Этот суффиксальный элемент характерен для украинской и, шире, западнославянской ономастики. В украинском языке -ик, -ык (на письме -ик) — типичный уменьшительный или патронимический суффикс. Так что Данык — это, скорее всего, украинская или белорусская фамилия, образованная от имени Дан.

Основа — Дан. Это краткая форма от канонического имени Даниил (в народной речи — Данило). Даниил в переводе с древнееврейского означает «Бог мой судья». В быту имя постоянно сокращали: Даня, Дан, Данько. От этих форм и пошли фамилии: Данилов, Данильченко, Данилюк, Данилевич. Данык стоит в том же ряду, но с другим суффиксальным оформлением. Суффикс -ык в данном случае мог выполнять две функции: указывать на сына (патроним) или на носителя признака (например, «маленький Дан»). В украинской традиции фамилии на -ык чаще означали «чей-то сын» или «потомок».

Есть и другая версия, менее вероятная. В некоторых говорах «данык» могло быть прозвищем, производным от глагола «дать» или от слова «данный» (например, данный в приданое, приемыш). Но это лишь догадка. В письменных источниках, например в реестрах запорожских казаков XVII века, встречаются фамилии Данило, Даниленко, но форма Данык не фиксируется как массовая. Это говорит о том, что фамилия, скорее всего, локальная и не слишком древняя в письменной традиции.

Носители фамилии Данык сегодня встречаются в основном на западе Украины и в приграничных районах Беларуси. В России она редка. Если ваши предки носили эту фамилию, то, вероятно, родом они из тех мест, где украинское влияние было сильным, а имя Данило — обычным. Сословная принадлежность могла быть любой: от крестьян до казаков, но фамилия не дворянская — такие простые патронимы на -ык обычно носили люди свободных или податных сословий.