Фамилия Дашковыч — редкий случай, когда написание почти полностью выдает происхождение. Суффикс -ович (в белорусской и украинской традиции часто переходящий в -ыч) прямо указывает на отчество: Дашковыч буквально значит «сын Дашка». Само имя Дашко — это народная, уменьшительная форма от крестильного имени Даниил (реже — от Давид или Дарья). В старых документах Дашками называли невысоких или молодых людей, но основным значением оставалось именно «маленький Даниил».

Географически фамилия почти наверняка западнорусская или белорусская. В Великом княжестве Литовском, а затем в Речи Посполитой отчества на -ович были нормой для всех сословий, тогда как в Московской Руси такой суффикс закрепился в основном за шляхтой и духовенством. Поэтому Дашковыч — не дворянская фамилия по умолчанию, а просто указание на отца: «чей ты? — Дашков сын». Со временем, после разделов Речи Посполитой, часть носителей могла перейти на великорусский лад и писаться Дашков, но исходная форма сохранилась у тех, кто остался на территории современной Беларуси, западной Украины или в пограничных регионах России.

Интересная деталь: в отличие от фамилии Дашкевич (тоже от Дашка, но с другим суффиксальным оформлением), форма Дашковыч встречается значительно реже. Это говорит о том, что она могла закрепиться в узком локальном ареале — например, в конкретном селе или местечке, где родоначальника все знали как «Дашков сын», и прозвище перешло в фамилию без изменений. Если искать корни, стоит смотреть в сторону Гродненской, Минской или Волынской губерний.

Фамилия не имеет отношения к знаменитому роду князей Дашковых — те писались через -ов и происходили от татарского мурзы Дашка. Дашковыч — демократичнее, проще и честнее: это прямое указание на предка по имени Дашко, без претензий на аристократию.