Фамилия Дишли — редкий случай, когда географический корень почти наверняка перевешивает все остальные версии. В отличие от большинства русских фамилий, образованных от крестильных имён или профессий, эта прямо указывает на место, откуда родом её первый носитель.

Основа фамилии — топоним Дишля (или Дишли). Такое название встречается в Азербайджане, где есть село Дишли в Геранбойском районе, а также несколько одноимённых сёл в Турции. Суффикс «-ли» в тюркских языках — формант принадлежности или обилия, примерно как русское «-ский»: указывает на то, что человек оттуда. «Дишли» буквально означает «зубастый» (от тюркского «диш» — зуб), но в качестве названия села это, скорее всего, не прозвище, а древняя характеристика местности — возможно, скалистой или зубчатой формы холмов.

Фамилия Дишли — относительно поздняя, сформировавшаяся уже в Российской империи. По модели образования она относится к «географическим» фамилиям, которые давали переселенцам или выходцам из конкретного аула. В русской среде такая фамилия почти не встречается; её носители — в основном азербайджанцы, турки или представители народов Северного Кавказа, где тюркские топонимы распространены.

Словообразовательная модель проста: корень «диш» + аффикс «-ли». Здесь нет ни русского патронимического суффикса («-ов», «-ин»), ни окончания, типичного для славянских фамилий. Это чистая тюркская основа, которая не адаптировалась под русскую грамматику, а вошла в обиход в исходной форме. Именно поэтому фамилия не склоняется по падежам в русском языке (Дишли, о Дишли, с Дишли).

Единственная альтернативная версия — что фамилия восходит к прозвищу «Дишли» («зубастый»), данному человеку с крупными или редкими зубами, либо, в переносном смысле, — сварливому, «кусачему» человеку. Однако против этой версии говорит редкость фамилии и её чёткая привязка к конкретным сёлам. Если бы прозвище было ходовым, мы бы видели больше однокоренных фамилий в разных регионах, а их нет. Топонимическое происхождение здесь надёжнее.

Таким образом, если ваша фамилия Дишли, с высокой вероятностью ваши предки — выходцы из одного из сёл с таким названием, скорее всего, в Закавказье или Восточной Анатолии. Это не фамилия дворянского сословия или известного рода, а маркер конкретного места — компактный и точный, как географическая подпись.