Фамилия Дышли — редкий случай, когда прозвище застыло в форме множественного числа. В русской ономастике такой суффикс почти не встречается; обычно фамилии на -и, -ых (Долгих, Черных) образуются от прилагательных. Здесь же перед нами, скорее всего, украинская или белорусская модель, где фамилией могло стать слово в форме именительного падежа множественного числа: Дышли — то есть «дышла».

Основа — «дышло», часть конной упряжи, длинный брус, которым соединяют повозку с лошадью. Прозвище Дышло давали либо высокому и худому человеку (по внешнему сходству), либо тому, кто работал с упряжью: извозчику, ямщику, крестьянину, который правил лошадьми. В переносном смысле слово могло означать упрямого или неуклюжего человека — «дышлом ворочает» говорили о медлительном.

Поскольку фамилия зафиксирована в форме множественного числа, логично предположить, что её дали целой семье или роду — «Дышли» значило «те, кто из семьи Дышла». Такая модель характерна для украинских фамилий (Ковали, Гончари) и для белорусского запада. В России фамилия встречается, но крайне редко, чаще — на юго-западе, в приграничных с Украиной областях.

Спорных версий здесь немного: связывать с диалектным «дышать» или «дышло» в значении «рычаг» нет оснований — оба значения не образуют устойчивого прозвища. Правдоподобнее всего именно упряжное дышло: оно даёт конкретный образ, понятный носителям говора. Фамилия не дворянская и не купеческая — явно крестьянская или ремесленная.

Если вы встретили эту фамилию у предков, ищите их в Черниговской, Полтавской или Могилёвской губерниях — там модель «прозвище во множественном числе» была особенно распространена. Скорее всего, ваш предок был извозчиком или просто долговязым человеком, которого так прозвали соседи.