Фамилия Добижа образована от прозвища, которое, скорее всего, восходит к украинскому глаголу «добiгти» (первая форма — «добiжу»), то есть «добежать». Так могли прозвать гонца или посыльного — человека, чья работа требовала быстроты и постоянного движения. Не исключено, что прозвище закрепилось за тем, кто отличался суетливым, торопливым нравом.

С точки зрения словообразования это типичная восточнославянская модель, где основа глагола в форме первого лица единственного числа становится прозвищем, а затем и фамилией. Аналогичным образом, например, возникли фамилии Хожу, Сижу, Гляжу. Суффикс в фамилии отсутствует — она осталась в «чистой» форме прозвища, что характерно для украинской ономастики, где фамилии на -а нередко фиксируют исходное прозвище без дополнительных патронимических суффиксов.

Географически фамилия тяготеет к Украине, что подтверждает и украинская основа глагола. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении — скорее всего, от одного прозвища в конкретной местности.

Среди известных носителей — Вадим Дмитриевич Добижа (родился в 1941 году), заслуженный тренер Украины по футболу. Он тренировал такие команды, как «Заря» (Ворошиловград), «Торпедо» (Москва) и «Волга» (Тверь). Его биография — редкий случай, когда фамилия получила известность за пределами узкого круга однофамильцев.