Фамилия Добежа — редкий пример, где основа читается как глагольная форма, но на самом деле это, скорее всего, прозвище, а не случайная запись действия. Если смотреть на слово «добежа» как на форму глагола «добежать» в женском роде прошедшего времени, то логично предположить, что так могли прозвать человека, который куда-то «добежал» — опоздал, прибежал последним или, наоборот, первым. Но в русской антропонимии такие чистые глагольные формы в повелительном наклонении («Дубиня», «Терпи») встречаются чаще, чем формы прошедшего времени. Поэтому, скорее всего, перед нами не глагол, а усечённая форма какого-то более длинного прозвища или имени.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. Фамилия не имеет типичного суффикса (-ов, -ин, -ский), а застыла в виде основы. Такие «голые» фамилии (без окончания прилагательного) характерны для украинской, белорусской и южнорусской традиции, где прозвища нередко переходили в фамилии без изменений. Сравните: украинские «Непийпиво», «Забійвовк» или русские «Держиморда», «Сорвиголова». Добежа могло быть прозвищем непоседливого, быстрого человека или, наоборот, того, кто вечно догонял, бежал следом.

Есть и другая, менее очевидная версия: основа могла произойти от диалектного или старого слова, которое со временем потеряло связь с глаголом. В некоторых говорах «добежать» означало не только «достичь бегом», но и «дожить», «дотянуть до какого-то срока». Прозвище Добежа мог получить человек, который «добежал» до старости, выжил после болезни или вернулся из долгой отлучки. В этом случае фамилия несёт оттенок судьбы, а не характера.

Географически фамилия встречается крайне редко. Основные следы ведут в западные области России (Смоленщина, Брянщина) и в восточную Беларусь, где распространены фамилии без суффиксов. В документах XIX века можно встретить однокоренные варианты — Добежко, Добежин, что подтверждает: корень «добеж-» был живым в прозвищной среде. Дворянского происхождения у фамилии нет — это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в среде, где прозвище давали по заметному поступку или качеству.

В целом, Добежа — фамилия-загадка, где глагольная форма обманчива. Скорее всего, это прозвище быстроногого или вечно спешащего человека, которое закрепилось за родом без изменений.