Фамилия Домняк — редкий случай, когда суффикс сразу выдаёт географию. Окончание -як характерно для западноукраинских и польских фамилий (сравните: Шевчук, Ковальчук, Бойко — там -ук/-юк, а -як встречается на Волыни, Подолье и в Галиции). Это не русская модель, а скорее украинская или белорусская, с вкраплением польского влияния. Так что предки носителя фамилии Домняк, скорее всего, жили на западе современной Украины или в юго-восточной Польше.

Основа фамилии — «Домн-». Самое прямое объяснение: от имени Домн (каноническое, греческого происхождения, от «домос» — «господин, владыка»). В православных святцах есть святой Домн, и в старину это имя встречалось, хоть и нечасто. Уменьшительная форма Домня (с суффиксом -я) дала прозвище Домняк — то есть «сын или потомок Домни». Это обычная для тех мест патронимическая модель: от личного имени через суффикс принадлежности.

Но есть и вторая, бытовая версия. В украинских говорах «домня» или «домник» могло означать домоседа, человека, который сидит дома, не любит выходить. В польском языке «domniak» — это человек, который живёт в одном доме с кем-то, сосед по дому. Так что прозвище могло закрепиться за тем, кто был привязан к хозяйству, либо за пришлым, которого приютили в чужой семье.

Первая версия (от имени Домн) выглядит надёжнее: в ономастике переход редкого церковного имени в фамилию — обычное дело, а вот прозвище «домосед» чаще давали бы в форме Домосед или Домашний, а не Домняк. Тем не менее, обе гипотезы имеют право на существование, и без конкретных записей XVII–XVIII веков по конкретному роду выбрать одну из них сложно.

Социальный срез: фамилии на -як в тех краях носили в основном крестьяне и мещане, реже — шляхта (которая чаще использовала -ский/-цкий). Так что предки Домняка — скорее всего, свободные или зависимые хлеборобы, ремесленники, возможно, мелкие торговцы. Фамилия нередкая для украинских сёл, но в общероссийском масштабе — большая редкость. Если встретили её за Уралом или в Сибири, это почти наверняка след переселения конца XIX — начала XX века, когда крестьяне с Западной Украины осваивали новые земли.