Фамилия Доспеевы образована от прозвища Доспей, а оно, в свою очередь, восходит к старинному глаголу «доспеть». У этого слова был широкий спектр значений: «приготовиться, собраться», «поспешить, поторопиться», «успеть сделать что-либо вовремя», а также «достигнуть» и «созреть». Исходя из этого, прозвище Доспей могли дать человеку деятельному и расторопному — тому, кто успевал больше других. Не исключено, что так называли и рано повзрослевшего юношу.

Модель образования фамилии проста и типична для русского ономастикона: к основе Доспей- добавился патронимический суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Доспеев сын). Так потомки человека по прозвищу Доспей стали Доспеевыми.

Однако есть и вторая, менее очевидная версия происхождения. Она связывает фамилию не с прозвищем, а с географическим названием — селом Доспей в Софийской области Болгарии. Если эта гипотеза верна, то родоначальник Доспеевых мог быть выходцем из этого болгарского села. Такое объяснение не отменяет первого, а скорее дополняет картину: переселенцы часто получали фамилии по месту прежнего жительства, а уж потом слово осмыслялось через похожий русский глагол.

Фамилия Доспеев зафиксирована в разных регионах, но её конкретная география бытования остаётся слабо изученной. Среди однокоренных фамилий — Доспехов, Доспешнов и Доспелов, которые встречаются ещё реже. Каждая из них образована от тех же корней, но с разными суффиксальными вариантами, что говорит о живом словообразовании в среде носителей прозвищ.

Точное время возникновения фамилии Доспеев установить сложно, как и для большинства русских фамилий, формировавшихся в течение нескольких столетий. Ясно одно: она принадлежит к пласту славянской антропонимии, где личная характеристика или место рождения человека становились его родовым именем.