Фамилия Доспеев происходит от прозвища Доспей. Его основа — старинный глагол «доспеть», который в русских говорах имел несколько значений: «приготовиться, собраться», «поспешить», «успеть сделать вовремя», а также «достигнуть» или «созреть». Скорее всего, Доспеем называли человека расторопного и деятельного — того, кто успевал больше других. Менее вероятно, но возможно, что прозвище закрепилось за рано повзрослевшим юношей.

Модель образования фамилии стандартна для северных и центральных областей России: суффикс -ев присоединялся к основе на мягкий согласный (Доспей → Доспеев). Обратите внимание, что ударение в фамилии обычно падает на второй слог — Доспéев, что отличает её от возможного омонима с ударением на первый слог, если бы основа читалась как «доспех».

Есть и другая версия: топонимическая. В Болгарии, в Софийской области, существует село Доспей. Не исключено, что предок носителей фамилии был выходцем оттуда. В таком случае фамилия указывала бы не на черту характера, а на место, откуда человек родом. Обе гипотезы имеют право на существование, но прозвищная версия выглядит более универсальной и распространённой для русских фамилий, не привязанных к конкретному географическому пункту.