Фамилия Доспаев происходит от личного имени Доспай. Это имя — фонетический вариант распространённого тюркского имени Дусбай. В его основе лежит сложение двух корней: «дус» (или «дос») — «друг, товарищ, близкий человек» и «бай» — «хозяин, господин, состоятельный человек». Таким образом, имя Доспай буквально означает «друг князя» или «товарищ господина».

Словообразовательная модель здесь проста и типична для русской адаптации тюркских фамилий: к основе «Доспай» добавили русский патронимический суффикс -ев. Фамилия указывает на то, что предок носителя звался Доспаем. В среде, где бытовало это имя, «другом бая» могли называть не только приближённого к знатному человеку, но и верного соратника, доверенное лицо.

Фамилия Доспаев встречается преимущественно в среде казахского и башкирского населения, а также у других тюркоязычных народов. В русских документах она закрепилась относительно поздно, в основном в XIX–XX веках, при переходе от отчеств к наследственным фамилиям. В отличие от многих русских фамилий на -ов, здесь нет указания на сословную принадлежность: носителями могли быть как степные аристократы, так и простые скотоводы, чьи предки получили прозвище за преданность.