Фамилия Досторев — редкий случай, когда основа не лежит на поверхности и не поддаётся однозначной трактовке. В ней отчетливо слышится корень «дост-», который в древнерусском языке означал «достойный», «подобающий», «надлежащий» (от «досто» — «достоинство»). Однако суффикс «-ев» указывает на притяжательное значение: «чей?» — Досторев, то есть сын или потомок человека по прозвищу Досто́рь.

Самая вероятная версия — прозвище До́сторь или До́старь. В северных и сибирских говорах «досторь» (или «достарь») — это дельный, толковый, знающий своё дело человек. В некоторых диалектах слово имело оттенок «старательный, усердный, рачительный хозяин». Таким образом, первый носитель фамилии мог получить прозвище за хозяйственную сметку или мастерство.

Менее убедительна, но возможна связь с глаголом «достать» в значении «добыть, разыскать». В этом случае До́сторь — человек, который достаёт, промышляет, возможно, охотник или рыбак. Однако фонетика здесь спорная: форма «Досторев» плохо выводится из «достать» напрямую, без промежуточного прозвища.

Обращает на себя внимание и окончание «-рев», а не более привычное «-ров». В русских фамилиях суффикс «-ев» присоединяется к основам на мягкий согласный или на -й. Если бы основа была До́стор, мы бы получили До́сторов. Форма Досторев подсказывает, что исходное прозвище звучало как До́сторь (с мягким «р»), что типично для северо-западных говоров (новгородских, псковских).

Фамилия встречается крайне редко. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках она практически не зафиксирована. Это наводит на мысль, что перед нами либо позднее искусственное образование (из семинарской среды, где фамилии придумывали от абстрактных понятий), либо очень локальное, угасшее прозвище. В любом случае, смысловая сердцевина фамилии — одобрительная характеристика: предок был человеком достойным и умелым.