Фамилия Дращенко образована по одной из самых распространённых в украинской антропонимии моделей: от личного прозвища с помощью патронимического суффикса -енко, который буквально значил «сын» или «потомок». В основе лежит прозвище Дращ или Драч, а сама фамилия, таким образом, означает «потомок Драща». Суффикс -енко характерен для центральных и левобережных областей Украины, особенно Полтавщины и Черниговщины, где такие фамилии массово фиксируются с XVI–XVII веков.

Корень «дращ-/драч-» неоднозначен и предполагает несколько версий происхождения, ни одна из которых не является бесспорной. Наиболее прямолинейная связь — с глаголом «драть» (драть кожу, лыко) или «драться». В этом случае Дращ (или Драч) — прозвище драчуна или человека, занятого дранием коры, лыка, кожи. Слово «драч» в южнорусских и украинских говорах имело несколько значений: задира, скребок для обработки кожи, а также инструмент для трепания льна или конопли. Следовательно, предок мог быть либо человеком с буйным нравом, либо ремесленником — кожевником или льнотрепальщиком.

Менее очевидная, но лингвистически возможная версия — происхождение от диалектного «дращ» как варианта слова «дрощ» (дрожь, тряска) или от «дрочити» (дразнить, нежить, баловать). В украинских говорах «драч» могло значить и «дразнилка», «насмешник». Однако исторические записи не дают достаточных оснований для предпочтения этой версии. Словарь Б. Унбегауна «Русские фамилии» относит фамилии с корнем Драч- к группе, образованной от прозвищ, связанных с действием или свойством характера.

В русской среде фамилия могла подвергнуться адаптации: суффикс -енко сохранился как маркер украинского происхождения, но ударение часто смещается на первый слог — Дра́щенко. Встречаются и варианты написания через «ч» — Драченко, что фонетически менее точно, так как в украинском языке на месте «ч» в суффиксе перед -енко ожидалось бы «щ» (ср. Грищенко от Грицько). Таким образом, фамилия Дращенко — типичный пример украинской фамилии, указывающей на прозвище предка, которое могло относиться либо к его ремеслу (кожевник, мастер по обработке льна), либо к его характеру (задира).