Фамилия Дращёв образована от прозвища Дращ или Дращь. В основе лежит глагол «драть» — в старых говорах он имел множество значений, от прямого «сдирать кору, лыко» до переносного «драть горло» (громко петь или кричать) и «драть шкуру» (брать непомерную цену). Но вероятнее всего, прозвище Дращ связано с ремеслом: дращём называли того, кто драл лыко — снимал кору с липы для плетения лаптей, рогож и мочала. В лесных северных и центральных губерниях России это было распространённое занятие, и прозвище могло закрепиться за человеком, который промышлял этим делом.

Фамилия образована по стандартной модели: основа Дращ- + суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Драща). Ударение в фамилии падает на последний слог — Дращёв, что типично для фамилий, где основа оканчивается на шипящий. В старых документах встречаются варианты написания: Дращев, Дращов — это зависело от местных диалектных произношений и грамотности писцов.

Фамилия редкая, не входит в списки массовых русских фамилий. Встречается преимущественно в центральной России и на Урале, что косвенно подтверждает связь с промыслом заготовки лыка — эти регионы были центрами кустарного производства лаптей и мочальных изделий. В дворянских родословных книгах фамилия не зафиксирована: её носители, скорее всего, принадлежали к крестьянскому или ремесленному сословию.