Фамилия Дремковы (в документальной форме — Дремков) построена по самой распространённой в русском языке модели: от прозвища через суффикс -ов. Если разобрать цепочку, то Дремков — это сын Дремко, а тот, в свою очередь, — внук человека по прозвищу Дрема.

Прозвище Дрема — одно из тех, что давали по заметной черте характера или привычке. В старину «дремой» называли не просто сон, а лёгкую, поверхностную дремоту, состояние, когда человек то и дело клюёт носом. Вряд ли такое прозвище было обидным — скорее, бытовым и точным: Дремой могли окрестить медлительного, задумчивого или сонливого человека. Интересно, что в говорах у слова «дрёма» было и переносное значение — «мечтатель», «человек, склонный к задумчивости».

Словообразовательная модель здесь классическая: основа Дрем- (от «дрема»), суффикс -к- (уменьшительный или обиходный) дал форму Дремко, а затем фамильный суффикс -ов привязал прозвище к роду. По такой же схемы возникли, например, фамилии Дремов (от той же «дремы»), Дремлюгин, Дремлюков — все они восходят к одному корню, но с разными суффиксами. Дремковы стоят в этом ряду особняком: форма на -ко чаще встречалась в южнорусских и украинских землях, что может указывать на географию возникновения фамилии.

Точное время появления фамилии не установлено, но процесс закрепления прозвищ в качестве наследственных имён шёл в основном в XV–XVII веках. Скорее всего, род Дремковых сложился где-то в этот период. Памятником фамилия остаётся не только как отражение живого народного языка, но и как свидетельство того, как простое бытовое слово становилось родовым именем.