Фамилия Дремко — яркий пример того, как прозвище, данное за характер или поведение, закрепилось в роду и превратилось в наследственное имя. Её основа — слово «дрёма», «дремок». В старину так могли назвать сонного, медлительного человека, любителя поспать, того, кто постоянно «клюёт носом». В говорах «дрёма» означала не только сонливость, но и мечтательность, задумчивость — этакого витающего в облаках человека. Прозвище было живым и точным, поэтому неудивительно, что оно прижилось.

С точки зрения словообразования, фамилия образована с помощью суффикса -к(о). Эта модель типична для украинских, белорусских и южнорусских фамилий (сравните: Семенко, Ковалько, Бойко). Суффикс придаёт основе оттенок уменьшительности или принадлежности, но в фамилиях он часто просто оформлял прозвище в фамильное имя, указывая на человека из рода Дремы. То есть Дремко — это буквально «сын Дремы» или просто «человек по прозвищу Дрёма».

По географии фамилия Дремко распространена в основном на западе и юге России, а также в восточной Украине. Это подтверждает её происхождение в зоне влияния украинского и белорусского языков. Встречается она и у переселенцев в Сибири, куда фамилия попала с потоками крестьян в XIX–XX веках.

Интересно, что у фамилии есть «двойники» с тем же корнем — Дрёмов, Дрёмин, Дремков. Все они восходят к одному прозвищу, но разные суффиксы указывают на разные региональные традиции оформления фамилий. Дремко — вариант более южный, с характерным окончанием, которое не склоняется по падежам как типичная русская фамилия на -ов. Это сразу выдаёт её происхождение.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта модель описывается как типичная для украинской ономастики. Никаких других версий, кроме прозвищной, у фамилии нет. Она не связана с профессией или именем — исключительно с личной характеристикой предка. Так что, если вы Дремко, ваш предок, скорее всего, был человеком неторопливым, любил подольше поспать или, наоборот, славился своей задумчивостью.